Pembuktian Aturan Sinus Dan Luas Segitiga Sembarang

 

Aturan sinus merupakan aturan yang sangat berguna sekali dalam mempermudah mencari luas dari segitiga sembarang. Namun, didapat dari manakah aturan tersebut?

Nah, ternyata aturan sinus ini didapat dari kesamaan garis tinggi pada segitiga di atas. 

Saat ini, orientasi kita ke garis tinggi CD (abaikan garis AE), maka

CD = b.sinA

CD = a.sinB

b.sinA = a.sinB

`frac{b}{sinB} = frac{a}{sinA}`

Selanjutnya, kita akan buktikan menggunakan garis tinggi AE (abaikan CD)

AE = b.sinC

AE = c.sinB

b.sinC = c.sinB

`frac{b}{sinB} = frac{c}{sinC}`

Karena `frac{b}{sinB} = frac{a}{sinA}` dan `frac{b}{sinB} = frac{c}{sinC}`

maka bisa kita satukan semuanya menjadi :

`frac{a}{sinA} = frac{b}{sinB} = frac{c}{sinC}`

Mungkin ada beberapa yang bertanya, mengapa b.sinA = CD?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita perlu tahu definisi dari sin = `frac{text(sisi depan)}{text(sisi miring)}`

maka ketika kita mengalikan sisi miring `xx` sin = sisi depan (CD)

sisi miring `xx` sin = sisi miring `xx frac{text(sisi depan)}{text(sisi miring)}`

sisi miring `xx` sin = `cancel(text(sisi miring)) xx frac{text(sisi depan)}{cancel(text(sisi miring))}`

sisi miring `xx` sin = sisi depan

Hal di atas juga berlaku pada semua aturan trigonometri.

Pembuktian Luas Segitiga Sembarang

Untuk konsepnya sama dengan sisi miring `xx` sin = sisi depan, yaitu

Perhatikan garis CD (abaikan AE) :

L = `frac{1}{2}`b.sinA `xx` c

L = `frac{1}{2}`a.sinB `xx` c

Perhatikan garis AE (abaikan CD) :

L = `frac{1}{2}`b.sinC `xx` a

L = `frac{1}{2}`c.sinB `xx` a

Hal di atas sesuai dengan aturan mencari luas segitiga sembarang dengan sebuah sudut diketahui yang diapit dua sisi yang diketahui.